・単一指数関数
単一指数関数の確率密度は，
\(\Large \displaystyle P(x) = k \ exp (-k \ x) \)
です．この場合の累積密度関数は，
\(\Large \displaystyle \int_0^x k \ exp (-k \ x') dx' = -\frac{k}{k} \left[ exp (-k \ x') \right]_0^x = 1 - exp (-k \ x) \)
となります．
解法１：
累積密度関数で推定したパラメータを基に，ヒストグラムを作成した場合，
この図のように，bin（d）ごとに集計します．
その総和は推定したデータ数，N，となりますので，
\(\Large \displaystyle N = C \cdot \sum_{i=0}^\infty \left[ exp (-k \ d \ i) \right] \)
となります，このCを求めたいわけです．
\(\Large \displaystyle y = \sum_{i=0}^\infty \left[ exp (-k \ d \ i) \right] = 1 + exp (-k \ d) + exp (-2 k \ d) + exp (-3 k \ d)...... \)
\(\Large \displaystyle y \cdot exp (-k \ d) = \hspace{74 pt} exp (-k \ d) + exp (-2 k \ d) + exp (-3 k \ d)...... \)
となるので，二つの式の引き算をとると，
\(\Large \displaystyle y - y \cdot exp (-k \ d) =1 \)
\(\Large \displaystyle y =\frac{1}{1- exp (-k \ d)} \)
となるので，
\(\Large \displaystyle N = C \cdot \frac{1}{1- exp (-k \ d)} \)
となり，結局Cは，
\(\Large \displaystyle C = N \cdot [ 1- exp (-k \ d) ] \)
となるので，ヒストグラムは，Cの高さを基準にした指数関数となります．
解法２：
指数関数で表した場合，0～ｄの割合は，
\(\Large \displaystyle \int_0^d exp (-k \ x) \ dx = -\frac{k}{k} \left[ exp (-k \ x) \right]_0^d = 1- exp (-k \ d)\)
となるので，全体の数，Ｎ，のうち
\(\Large \displaystyle N \cdot [1- exp (-k \ d) ] \)
が基準となります．
・実際の計算
実際に，ランダム関数から指数分布を作成して（詳細はここ），ｋ，ｄを色々変えて計算させると，
k=0.1, d=1, N=1000, -> 95.16
k=0.1, d=0.5, N=1000, -> 48.77
k=0.2, d=0.5, N=1000, -> 95.16
ときれいにフィットできました．
ちなみに，エクセルで散布図で棒グラフを作る方法は，ここ，を参考にしました．
短いデータが欠損している場合
ここ，で説明しているように，累積関数でのフィットは短いデータが欠損している場合に有効です．
その際には，
\(\Large \displaystyle \frac{ [A_0]}{k} \cdot \left( 1 - e^{-kt} \right) + D \)
でフィットできることを示しました．書き換えると，
\(\Large \displaystyle N_1 \cdot \left( 1 - e^{-kt} \right) + N_2 \)
という関数で表すことができます．ここで，ヒストグラムにフィットさせる場合には，欠損しているデータ数も加えなくてはならないので，
\(\Large \displaystyle N = N_1 + N_2 \)
として計算することになります．
次は，二つの指数関数の和，の場合です．
